DP套DP

author: Hope666666

引入

本文将介绍 DP 套 DP 的思想，并通过两道例题展示它如何应用到具体问题中．

思想

所谓「DP 套 DP」，实际上指的是在动态规划的过程中，把一个子问题的求解过程（通常是一个 DP）抽象成一个自动机（DFA），然后在这个自动机的基础上再设计一层新的 DP 的方法．

这种技巧主要应用于一类 序列计数、概率或期望问题．一个典型的问题具有如下结构：

给定字符集 $Σ$ 和它上面一个长度为 $n$ 的「合法序列」的集合 $A \subseteq Σ^{n}$ ．根据字符集不同，序列可以是二进制串、数字串、状态序列等．
对于每一个具体的序列 $s \in Σ^{n}$ ，可以通过动态规划来判断它是否合法（即 $s \in A$ ），计算它的权值或求出相关值．
最终，我们希望统计集合 $A$ 中所有序列的数目、总权值、期望值等．

这时，枚举所有序列是不可行的．于是我们考虑将「判断一个序列是否合法」的过程（即内层 DP）抽象为一个确定有限状态自动机（DFA）．一般地，对于固定的序列 $s \in Σ^{n}$ ，内层 DP 的状态函数可以表示为 $g (i, x; s)$ ，即已经处理完序列 $s$ 的长度为 $i$ 的前缀，且其他状态分量为 $x$ 时某个量的取值．相应地，内层 DP 的状态转移方程为

g (i, \cdot; s) = G (g (i - 1, \cdot; s), s_{i}) .

也就是说，函数 $g (i, \cdot; s)$ 由之前的函数 $g (i - 1, \cdot; s)$ 和当前的字符 $s_{i}$ 唯一确定．如果将函数 $g (i, \cdot; s)$ 看作是自动机的一个状态，那么，内层 DP 的状态转移方程就给出了自动机的一个转移．因此，内层 DP 对应的自动机 $(Q, Σ, δ, q_{0}, F)$ 结构如下：

状态集合 $Q$ 就是所有可能的 $s \in Σ^{n}$ 和 $i = 0, 1, \dots, n$ 对应的函数 $g (i, \cdot; s)$ 的集合；
转移函数 $δ : Q \times Σ \to Q$ 就是内层 DP 的状态转移方程中的 $G$ ；
起始状态 $q_{0}$ 通常是显然的，即内层 DP 的初始状态；
接受状态集合 $F$ 就对应着所有的合法序列 $s \in A$ ．

函数 $g (i, \cdot; s)$ 本身可能相当复杂，因此，在处理具体问题时，通常需要进行状态压缩或结合 DFA 最小化的技巧来压缩状态空间．这也是 DP 套 DP 相较于暴力 DP 能够显著降低时空复杂度的主要原因．

将内层 DP 抽象为 DFA 后，就可以在这个 DFA 上设计一个新的 DP 用于求解原问题，即外层 DP．为方便表述，以简单的计数问题为例．外层 DP 的状态函数定义为 $f (i, q)$ ，即处理到长度为 $i$ 的前缀时，到达 DFA 中状态 $q \in Q$ 的前缀的数目．它的状态转移方程为

f (i, q) = c \in Σ \sum q^{'} \in Q : δ (q^{'}, c) = q \sum f (i - 1, q^{'}) .

起始状态当然是 $f (0, q_{0})$ ，而最终要求的答案通常可以根据 ${f (n, q) : q \in F}$ 简单计算得到．外层 DP 实际上是 DAG 上 DP 的特殊情形．

例题

接下来的两个例题会详细说明 DP 套 DP 的一般做法．

例一

???+ example “Hero meet devil”
给定一个字符集为 ACGT 的字符串 $S$ ，且 $∣ S ∣ \leq 15$ ．对于每个 $0 \leq i \leq ∣ S ∣$ ，求有多少个长度为 $m$ ，字符集 ACGT 的字符串 $T$ ，满足它与 $S$ 的最长公共子序列长度为 $i$ ．

??? note “题解”
我们首先会想到一个 DP：设 $f_{i, j}$ 表示长度为 $i$ 的 $T$ 中，和 $S$ 的最长公共子序列的长度为 $j$ 的方案数．但是这样无法转移，我们发现主要的问题是，我们不知道这个最长公共子序列对应的是哪些字符．

考虑朴素求最长公共子序列的过程．设 $g_{i, j}$ 表示 $T$ 的前 $i$ 位和 $S$ 的前 $j$ 位，它们的最长公共子序列的长度，就有

g_{i, j} = max {g_{i - 1, j}, g_{i, j - 1}, g_{i - 1, j - 1} + [T_{i} = S_{j}]} .

我们发现，对于一个 $i$ ，只需要记录 $g_{i}$ 这个一维数组每一位的值，就能准确维护当前 $S$ 与 $T$ 前 $i$ 位最长公共子序列的状态．因为 $S$ 长度只有 $15$ ，我们发现这个思想是可行的．

于是重新设状态 $f_{i, x}$ 表示对于长度为 $i$ 的 $T$ ，与 $S$ 的 DP 数组（就是 $g_{i}$ ）状态为 $x$ 的方案数．这个 DP 看起来状态数很多，然而我们发现 $g_{i, j} - g_{i, j - 1} \in {0, 1}$ ，就可以维护 $g_{i}$ 的差分数组，状态数是 $2^{∣ S ∣}$ 的．

现在思考怎么转移．容易发现，如果我们知道了 $g_{i}$ 这个数组，也知道了 $T_{i + 1}$ ，就能通过朴素 LCS 转移（即前文的 DP 方程）求出 $g_{i + 1}$ ．于是朴素的 LCS 就成为了帮助 $f$ 转移的内层 DP．

因此，我们枚举 $T_{i + 1}$ ，计算出 $x$ 转移后的状态 $x^{'}$ ，再将 $f_{i + 1, x^{'}}$ 加上 $f_{i, x}$ 就可以完成外层 DP 的状态转移．最后，我们记录 $ans_{i}$ 为 LCS 长度为 $i$ 的答案，枚举每个状态 $S$ ， $ans_{popcount (S)}$ 加上 $f_{m, S}$ 即可．

??? note “参考代码”

--8<-- "docs/dp/code/dp-of-dp/dp-of-dp_1.cpp"

例二

???+ example “[ZJOI2019] 麻将”
假设麻将牌有 $n$ 种大小的牌，每种大小有 $4$ 张牌．定义面子为三张相邻大小的麻将牌 $i, i + 1, i + 2$ （顺子）或三种相同大小的麻将牌 $i, i, i$ （刻子），对子为两张相同大小的麻将牌 $i, i$ ．定义一个麻将牌的序列是胡的，当且仅当它（看作多重集合）可以拆成四个面子和一个对子，或者七个不同的对子．给定 $13$ 张麻将牌，问期望再摸多少张牌可以满足存在一个胡牌的子序列的条件．

??? note “题解”
首先，对于一副牌，我们只需考虑每种牌的数量，而不必关心它们的顺序．因此，对于任何一副牌的任意前缀，我们都可以将它转化为一个长度为 $n$ ，每个位置上为 $0 \sim 4$ 的序列．初始时，第 $i$ 张牌的数量为 $a_{i}$ ，就相当于限制了序列中第 $i$ 个数字 $x_{i}$ 的取值为 $[a_{i}, 4]$ 内的整数．注意，转化后的序列没有考虑摸牌的顺序，但是题目中的麻将牌的序列是考虑顺序的．

设 $X$ 表示可以胡牌的最小摸牌次数．直接计算期望 $E [X]$ 较为困难，可以考虑进行如下转化．设 $h_{i}$ 表示摸了 $i$ 张牌后 没有胡 的序列数．因为它对应的麻将牌序列中，这 $i$ 张牌必然排在剩下的 $(4 n - 13 - i)$ 张牌前方，但是这 $i$ 张牌和剩下的 $(4 n - 13 - i)$ 张牌的顺序是任意的，所以，只摸前 $i$ 张牌无法胡牌的麻将牌序列的数目就是

h_{i} \cdot i! (4 n - 13 - i)! .

因为麻将牌序列的总数为 $(4 n - 13)!$ ，所以，只摸前 $i$ 张牌无法胡牌的概率为

P [X > i] = \frac{h _{i} \cdot i ! ( 4 n - 13 - i )!}{( 4 n - 13 )!} .

利用尾求和公式，就可以得到所求期望

E [X] = i = 0 \sum \infty P [X > i] = 1 + i = 1 \sum 4 n - 13 \frac{h _{i} \cdot i ! ( 4 n - 13 - i )!}{( 4 n - 13 )!} .

至此，问题转化为如何计算 $h_{i}$ ．我们采用 DP 套 DP 的方法来解决这一问题．

首先，考虑内层 DP，也就是要用动态规划判断一个（转化后的）序列是否对应一副能胡的牌．七对子的情形较为容易，重点讨论第一种胡牌的形式．为此，设 $g_{0/1, i, j, k}$ 表示处理完前 $i$ 种牌，还剩 $j$ 组 $(i - 1, i)$ 以及 $k$ 张 $i$ ，且存在/不存在对子（即 $0/1$ ）时最多的面子数．如果对于一个序列进行 DP，最后得到的 $g_{1, n}$ 中包括一个大于等于 $4$ 的数字，那么这个序列就是能胡的．

这个 DP 的状态转移较为复杂．我们分两步讨论．第一步，考虑 $g_{0/1, i}$ 的转移．这相当于说，如果要向现在的牌型中，添加 $x_{i}$ 张大小为 $i$ 的牌，但是不组成新的对子时，面子数如何转移．显然，如果希望在添加 $x_{i}$ 张大小为 $i$ 的牌后，要得到 $ℓ$ 个顺子， $j$ 个 $(i - 1, i)$ 和 $k$ 个单独的 $i$ ，那么，就应该从 $(g_{0/1, i - 1})_{ℓ, j}$ 中转移过来（这里的选择最大程度避免了浪费），并将剩余的牌 $(x_{i} - ℓ - j - k)$ 用于组成尽可能多的刻子．穷举所有的可能性，就得到如下转移方程：

\tilde{G} (g_{0/1, i - 1}, x_{i})_{j, k} = max {(g_{0/1, i - 1})_{ℓ, j} + ℓ + ⌊ \frac{x _{i} - ℓ - j - k}{3} ⌋ : ℓ + j + k \leq x_{i}} .

第二步，再考虑需要组成对子的情形．加入 $x_{i}$ 张大小为 $i$ 的牌时，有如下三种转移：

将 $g_{0, i - 1}$ 加 $x_{i}$ 张牌转移到 $g_{0, i}$ ；
将 $g_{1, i - 1}$ 加 $x_{i}$ 张牌转移到 $g_{1, i}$ ；
若 $x_{i} \geq 2$ ，将 $g_{0, i - 1}$ 加 $x_{i} - 2$ 张牌转移到 $g_{1, i}$ ．

由此，就得到了从 $g_{i - 1}$ 添加 $x_{i}$ 张牌得到 $g_{i}$ 的全部转移．

解决了内层 DP 的状态转移，就可以构建 胡牌自动机．自动机的转移就是上述内层 DP 的转移，还需要考虑如何表示自动机的每个状态．每个状态都对应 $g_{i}$ 的一种可能的取值．它有三个维度 $(0/1, j, k)$ ．因为 $j$ 和 $k$ 对应的维度中保留的 $(i - 1, i)$ 和 $i$ 都是用于将来组成顺子的，而三个相同顺子总是可以重组为三个刻子，所以，只需要考虑组成不超过 $2$ 个相同顺子的需求就行，每种牌型也就只要保留不超过 $2$ 个，即 $j, k \in {0, 1, 2}$ ．因此， $g_{i}$ 可以表示为一个 $2 \times 3 \times 3$ 的数组．另外，为了维护七对子的胡牌牌型，还需要为每个状态添加一个计数器，用于表示当前最多可组成的对子数目．

数组 $g_{i}$ 中每个元素的取值范围可能是 ${- \infty} \cup N$ ，但是，因为面子数目大于等于 $4$ 都是胡牌，所以，可以限制每个元素取值不超过 $4$ ．由于胡牌序列再添加任何牌都是胡牌序列，所以，可以利用 DFA 最小化的思想，将全体胡牌状态压缩为一个状态．因此，对于非胡牌状态，实际上每个位置的取值只要考虑 ${- \infty} \cup {0, 1, 2, 3}$ 就可以了．实现时， $- \infty$ 用 $- 1$ 表示．

尽管如此，所有可能的状态依然相当地多，共有 $1 + 7 \times 5^{18}$ 种．穷举它们并不现实．实际上，绝大多数这些可能性都不会真的出现在一个胡牌自动机中．为了避免考虑实际不存在的状态，可以利用 BFS 的思想，从初始状态开始，一步一步扩展状态，直到胡牌状态处停止．这样得到的自动机中有 $N = 2092$ 个状态．

最后，考虑如何在胡牌自动机上 DP（即外层 DP）．设 $f_{i, j, k}$ 表示处理到第 $i$ 张牌，共摸了 $j$ 张牌，走到了胡牌自动机上的 $k$ 号状态的序列数．转移时，枚举摸牌数 $0 \leq t \leq 4 - a_{i}$ ，其中 $a_{i}$ 为初始 $13$ 张牌中用掉的 $i$ 的张数，将之前的序列数乘以 $4 - a_{i}$ 张牌中选 $t$ 张牌的方案数 $(t 4 - a _{i})$ ，再累加到一起．形式化地，有：

f_{i + 1, j + t, k^{'}} = t = 0 \sum 4 - a_{i} (t 4 - a _{i}) f_{i, j, k} .

其中， $k^{'} = δ (k, a_{i} + t)$ ，表示向自动机的状态 $k$ 中加入 $a_{i} + t$ 张牌后的状态．外层 DP 结束后，就可以计算出摸了 $i$ 张牌仍然没有胡牌的序列数目，即

h_{i} = j = 1 \sum N f_{n, i, j} .

代入前文所述表达式，就可以得到所要求的期望．

??? note “参考代码”

--8<-- "docs/dp/code/dp-of-dp/dp-of-dp_2.cpp"

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