Manacher

Manacher 算法（回文串）

问题

求字符串 $s$ 的最长回文子串，时间复杂度 $O(n)$。

核心思想

利用回文的对称性，避免重复计算。维护当前已知的最右回文边界 $r$ 及其中心 $c$。

!
上图展示了以某个中心扩展回文的过程

!
利用对称性快速确定回文半径

!
当对称点半径触及右边界时，仍需中心扩展

算法步骤

1. 字符串预处理: 在字符间插入分隔符 #，将奇偶长度的回文统一处理

原始: a b a b c
预处理: # a # b # a # b # c #

预处理后，所有回文串的长度都是奇数，$d[i]$ 表示以 $i$ 为中心的回文半径。

2. 递推计算 $d[i]$:

• 如果 $i$ 在已知最右回文边界 $r$ 内，利用对称点 $i^{\prime }=2c-i$ 的 $d[i^{\prime }]$ 初始化 $d[i]$
• 否则 $d[i]=1$
• 向两边扩展，直到不匹配
• 如果 $i+d[i]>r$，更新 $c=i,r=i+d[i]$

vector<int> manacher(const string &s) {
 // 预处理
 string t = "#";
 for (char c : s) {
 t += c; t += '#';
 }
 int n = t.size();
 vector<int> d(n);
 int c = 0, r = 0;
 for (int i = 0; i < n; i++) {
 int mir = 2 * c - i; // 对称点
 if (i < r)
 d[i] = min(d[mir], r - i);
 while (i - d[i] >= 0 && i + d[i] < n
 && t[i - d[i]] == t[i + d[i]])
 d[i]++;
 if (i + d[i] > r) {
 c = i;
 r = i + d[i];
 }
 }
 return d;
}

$d[i]$ 表示扩展半径（包含中心自身），原始字符串中的回文长度为 $d[i]-1$。

重要性质

• $d[i]-1$ 是以 $i$ 为中心的最长回文子串长度（在原始字符串中）
• 算法过程中每个字符最多被扩展一次，因此时间复杂度为 $O(n)$

推荐练习题

平台	编号	名称	说明
洛谷	P3805	【模板】manacher	最长回文子串
洛谷	P1659	拉拉队排练	回文长度计数
洛谷	P4555	最长双回文串	回文组合
LeetCode	5	Longest Palindromic Substring	最长回文子串
LeetCode	647	Palindromic Substrings	回文子串计数

相关链接

• 字符串基础
• 字符串哈希（回文串的哈希解法）
• KMP 算法

内容来源：经本地化改造的 OI-wiki Manacher 章节。详细推导见 OI-wiki。

多平台练习

| 洛谷 | 本题单 | 竞赛基础 |
| POJ (北大) | PKU JudgeOnline | 经典题目，适合巩固 |
| HDU (杭电) | HDU OJ | 暑期多校训练 |
| Codeforces | Codeforces | 国际竞赛，适合提升 |